三角函数诱导公式：简单易懂的入门指南

【来源：易教网 更新时间：2025-05-10】

三角函数，听起来是不是有点复杂？其实它并不可怕！今天我们就来聊聊三角函数的“好朋友”——诱导公式。这些公式可以帮助我们把角度大的三角函数转换成角度小的三角函数，从而让计算变得更简单。而且，掌握它们并不难，只需要记住几个口诀和规律。

什么是诱导公式？

诱导公式的核心思想是利用三角函数的周期性。三角函数（比如正弦、余弦、正切）有一个特点：它们每隔一定角度就会重复一次。换句话说，它们有固定的周期。例如，正弦和余弦的周期是 \(2\pi\)，而正切的周期是 \(\pi\)。

通过诱导公式，我们可以将一个大角度的三角函数值，用一个小角度的三角函数值来表示。这样一来，计算就轻松多了！

诱导公式的分类

诱导公式一共有六组，每组都对应不同的角度变化规则。虽然看起来很多，但只要掌握了规律，就能轻松应对。下面我来逐一讲解这些公式，并配上简单的记忆方法。

1. 终边相同的角：函数值不变

如果你遇到一个角度 \(\alpha + k \cdot 360^\circ\)（或者 \(\alpha + 2k\pi\)），它的三角函数值和 \(\alpha\) 是一样的。也就是说：

\[\sin(\alpha + 2k\pi) = \sin\alpha, \quad \cos(\alpha + 2k\pi) = \cos\alpha, \quad \tan(\alpha + k\pi) = \tan\alpha\]

为什么呢？

因为三角函数是周期性的，转一圈回到原点，函数值自然不变。

记忆口诀：水平诱导名不变。

2. 负角度：符号看象限

当你看到负角度 \(-\alpha\)，可以用以下公式：

\[\sin(-\alpha) = -\sin\alpha, \quad \cos(-\alpha) = \cos\alpha, \quad \tan(-\alpha) = -\tan\alpha\]

为什么这样变？

负角度相当于把角“翻转”了一下。对于正弦和正切来说，翻转会改变符号；而对于余弦来说，翻转不影响符号。

记忆口诀：负号只改正弦和正切，余弦不动。

3. 与 \(\pi\) 的关系：符号看象限

当角度变成 \(\pi + \alpha\) 或 \(\pi - \alpha\) 时，公式如下：

\[\sin(\pi + \alpha) = -\sin\alpha, \quad \cos(\pi + \alpha) = -\cos\alpha, \quad \tan(\pi + \alpha) = \tan\alpha\]

\[\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha, \quad \cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha, \quad \tan(\pi - \alpha) = -\tan\alpha\]

怎么记？

想象一下，\(\pi\) 对应的是半圈。半圈之后，正弦和余弦会根据象限改变符号，而正切则保持不变。

记忆口诀：半圈变符号，正切不改。

4. 与 \(\frac{\pi}{2}\) 的关系：奇变偶不变

当角度变成 \(\frac{\pi}{2} + \alpha\) 或 \(\frac{\pi}{2} - \alpha\) 时，公式如下：

\[\sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = \cos\alpha, \quad \cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\sin\alpha\]

\[\sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \cos\alpha, \quad \cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \sin\alpha\]

关键点：

这里有个重要的规律叫“奇变偶不变”。意思是，如果角度加减了 \(\frac{\pi}{2}\)，那么正弦和余弦会互换位置；如果是 \(\frac{3\pi}{2}\)，也会互换，但符号可能变化。

记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限。

5. 与 \(\frac{3\pi}{2}\) 的关系

类似地，当角度变成 \(\frac{3\pi}{2} + \alpha\) 或 \(\frac{3\pi}{2} - \alpha\) 时，公式如下：

\[\sin\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = -\cos\alpha, \quad \cos\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = \sin\alpha\]

\[\sin\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = -\cos\alpha, \quad \cos\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = -\sin\alpha\]

\(\frac{3\pi}{2}\) 和 \(\frac{\pi}{2}\) 类似，只是符号需要额外注意。

6. 四个象限的符号规律

我们来看一下三角函数在四个象限中的符号规律。这非常重要，因为符号决定了答案的正负。

- 第一象限：全正

所有的三角函数值都是正数。

- 第二象限：只有正弦和余割为正

其他函数值都是负数。

- 第三象限：只有正切和余切为正

其他函数值都是负数。

- 第四象限：只有余弦和正割为正

其他函数值都是负数。

记忆口诀：一全正，二正弦，三双切，四余弦。

如何快速记住这些公式？

1. 分清主次： 首先记住核心规律，比如“奇变偶不变”和“符号看象限”。

2. 多练习： 多做一些例题，熟悉每个公式的应用场景。

3. 结合图像： 画出单位圆，观察不同角度对应的三角函数值变化。

4. 巧用口诀： 口诀是记忆的好帮手，比如“一全正，二正弦，三双切，四余弦”。

实际应用案例

案例 1：求解 \(\sin(7\pi/6)\)

我们知道，\(7\pi/6 = \pi + \pi/6\)。根据公式：

\[\sin(\pi + \alpha) = -\sin\alpha\]

所以：

\[\sin(7\pi/6) = -\sin(\pi/6) = -\frac{1}{2}\]

案例 2：求解 \(\cos(-\pi/4)\)

根据公式：

\[\cos(-\alpha) = \cos\alpha\]

所以：

\[\cos(-\pi/4) = \cos(\pi/4) = \frac{\sqrt{2}}{2}\]

三角函数的诱导公式看似复杂，但只要掌握了核心规律，就能轻松应对各种问题。记住几个关键口诀，比如“奇变偶不变”和“符号看象限”，再结合具体的例题练习，你会发现这些公式其实很简单！

希望这篇文章能帮助你更好地理解三角函数的诱导公式。如果有任何疑问，欢迎随时提问！